Adolf Heinrich Schletter war Seidenwarenhändler, Konsul und Stifter in Leipzig.
Im Jahr 1814 übernahm er die von seinem Vater Salomon Gotthold Schletter im Jahr 1780 gegründete Firma (Handel mit französischen Seidenwaren), die er bis 1849 leitete. Dabei reiste er oft nach Paris und Lyon.
Im Jahr 1836 erwarb er das Grundstück Petersstraße 26 (»Zum großen Christoph«, Schletterhaus).
Seit 1837 war Schletter Mitglied des gerade erst gegründeten Leipziger Kunstvereins.
In seinem Testament vom 6. März 1853 vermachte Schletter seine Kunstsammlung, die aus 80 Gemälden und 17 Kleinplastiken bestand, sowie sein Grundstück der Stadt Leipzig unter der Bedingung, dass der aus dem Grundstücksverkauf erzielte Erlös zum Kauf oder Neubau eines Museums eingesetzt wird, das innerhalb von fünf Jahren nach seinem Tode eingerichtet sein muss.
Am 19. Dezember 1853 starb Adolf Heinrich Schletter im Alter von 60 Jahren in Paris. Er wurde in Leipzig beigesetzt.
Das Testament wurde am 2. Januar 1854 veröffentlicht; die Stadt Leipzig nahm die Stiftung an und eröffnete am 18. Dezember 1858, dem Vorabend des fünften Todestages Schletters, das Städtische Museum.
Im Jahr 1861 wurde eine Straße in der südlichen Leipziger Vorstadt nach Schletter benannt (Schletterstraße). Bis 2011 trug auch der Gaudigplatz seinen Namen (»Schletterplatz«). Ein Porträtrelief Schletters befand sich seit 1858 im Treppenhaus des Städtischen Museums.
Ein Ölgemälde von L. F. von Rayski (1806–1890) aus dem Jahr 1845, das Schletter darstellt, befindet sich seit 1884 (Schenkung der Erben) im Besitz des Museums der bildenden Künste Leipzig.