Der kurfürstlich sächsische Hofrat Professor Dr. Johann Gottlob Böhme war Historiker an der Universität Leipzig.
Er lernte zunächst vom 8. September 1730 bis zum 11. September 1736 an der sächsischen Fürstenschule Pforta und studierte dann von 1736 bis 1747 an der Universität Leipzig, wo er auch promovierte. Im Jahr 1751 wurde Böhme außerordentlicher Professor. Im Jahr 1758 wurde er in Nachfolge von Christian Gottlieb Jöcher (1694–1758) ordentlicher Professor für Geschichte an der Philosophischen Fakultät der Universität Leipzig. Außerdem lehrte er Staatsrecht an der Juristenfakultät. In den Sommersemestern 1760, 1764, 1768 und 1772 war er Rektor.
Böhme war Mitglied der Leipziger Freimaurer-Loge Minerva.
Im Jahr 1766 wurde Böhme zum kurfürstlich sächsischen Hofrat und Hofhistoriographen ernannt.
In einem Schenkungsbrief vom 12. April 1770 hinterließ Böhme seine 6 513 Bände umfassende historische Büchersammlung der Universitätsbibliothek Leipzig.
Im Jahr 1771 heiratete er Christiana Regina Hetzer (1724–1780), die Witwe des Leipziger Ratsbaumeisters Johann Caspar Richter (1708–1770), und kam so in den Besitz des Gohliser Schlösschens, dessen Innenausstattung er vollenden ließ. Außerdem regte er den ersten Spazierweg durch das Rosental nach Gohlis an, der 1777 angelegt wurde.
Im Jahr 1772 erwarb er aus dem Nachlass des Professors Dr. Lüder Mencke (1658–1726) das Rittergut Gohlis und wurde damit Erb-, Lehn- und Gerichtsherr des Dorfes Gohlis.
Mit seiner Ehefrau begründete Böhme in ihrem gemeinsamen Testament vom 20. März 1776 und weiteren Zusätzen vier Stiftungen über insgesamt 4 240 Thaler; drei der Stiftungen wurden später zur Vespergottesdienststiftung für Gohlis zusammengefasst, die vierte wurde als Böhmesche Stiftung geführt.
Nach seinem Tod erbte seine Ehefrau das Schlösschen und Rittergut. Seine Privatbibliothek wurde entsprechend der Schenkungsurkunde ab 4. April 1782 in separaten Schränken im hinteren Teil des Bibliothekssaals der Universität aufgestellt.
Ein Ölgemälde mit dem Porträt Böhmes, das E. Gottlob (1744–1796) im Jahre 1782 schuf, befindet sich im Katalogsaal der Universitätsbibliothek.
Im Jahr 1875 wurde eine Straße in der heute zu Leipzig gehörenden Gemeinde Gohlis nach Professor Dr. Böhme benannt (Böhmestraße).