Der königlich sächsische Baurat Dr.phil. h.c. Max Arwed Rossbach war einer der bedeutendsten Architekten des letzten Viertels des 19. Jahrhunderts in Leipzig.
Rossbach studierte an der Königlich Sächsischen Kunstakademie in Dresden. Anschließend arbeitete er in Berlin bei C. F. Langhans (1782–1869), unter dem er als Zweiter Bauführer 1864–1867 den Bau des Neuen Theaters am Augustusplatz leitete.
Im Jahr 1870 ließ sich Rossbach als Architekt in Leipzig nieder. In der Folgezeit entwarf er zahlreiche bedeutende Gebäude in Leipzig, von denen leider nur noch ein Teil erhalten ist: die Villa Sebastian-Bach-Straße 53 (1880 / 1881), das Wohnhaus Beethovenstraße 8 (Rossbachhaus, 1882 / 1883), das Gesellschaftshaus Harmonie (1885, zerstört), die Alberthalle (1886 / 1887, 1943 zerstört), das Klingerhaus (1887 / 1888), die Universitätsbibliothek (1888–1891), das Augusteum (1891–1897, 1943 zerstört, 1968 abgetragen), den Ostgiebel der Universitätskirche (1897 / 1898, 1968 gesprengt), das Gebäude der Leipziger Bank (1898-1901) und die Taborkirche (1902–1904).
In der Mitte der 1880er Jahre wurde eine Straße in Anger-Crottendorf nach A. Rossbach benannt (Roßbachstraße).
Im Jahr 1891 erhielt Rossbach den Titel Königlich Sächsischer Baurat und wurde Leipziger Stadtrat.
Im Jahr 1897 verlieh die Philosophische Fakultät der Universität Leipzig A. Rossbach die Ehrendoktorwürde.
Am 31.12.1902 starb Dr.phil. h.c. Arwed Rossbach im Alter von 58 Jahren in Leipzig.
Im Jahr 2007 wurde das Berufliche Schulzentrum 6 (Bautechnik) nach A. Rossbach benannt (Arwed-Rossbach-Schule).